第三次数学危机的消除是依靠集合论的发展和公理化方法的建立。

在19世纪末20世纪初，数学界经历了一次重要的危机，即第三次数学危机。这次危机源于集合论中出现的一些悖论，尤其是罗素悖论的提出。这些悖论揭示了集合论中的一些基本假设可能存在问题，从而引发了对整个数学基础的质疑。

罗素悖论指出，在一个集合中包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否应该包含自身？如果它包含自身，则根据定义它不应该包含自身；如果不包含自身，则根据定义它应该包含自身。这种自相矛盾的情况导致了逻辑上的混乱。

为了解决这些问题，数学家们开始寻求新的方法来建立数学的基础。其中最重要的贡献来自于大卫·希尔伯特、伯特兰·罗素、恩斯特·策梅洛等人的工作。他们致力于发展一套严格且自洽的公理系统，并试图通过这种方法来消除悖论。

1908年，策梅洛提出了一个关于集合论的公理系统，即策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory, ZF），这是现代集合论的基础。这一公理系统试图通过限制集合的构造方式来避免产生类似罗素悖论那样的自相矛盾情况。

与此同时，希尔伯特倡导的形式主义方法也对消除第三次数学危机起到了重要作用。他提出了一个宏伟计划，即通过严格的公理化方法来证明整个数学体系的一致性和独立性。尽管希尔伯特最终未能实现这一目标，但他的工作为后来者提供了重要的启示和方法论指导。

总之，第三次数学危机通过集合论的发展和公理化方法的建立得到了解决。这些进展不仅解决了当时存在的逻辑问题，还为现代数学奠定了坚实的基础，并推动了逻辑学、计算机科学等领域的发展。